FPB dan KPK

FPB ( Faktor Persekutuan Terbesar)

FPB adalah faktor yang sama dan terbesar antara dua bilangan atau lebih. FPB antara bilangan a dan b biasa ditulis fpb(a,b) atau gcd(a,b). Contohnya, fpb(15,45)=15 atau gcd(15,45)=15. Cara mencari FPB akan dibahas nanti di artikel ini.

KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil)

KPK adalah kelipatan yang sama dan terkecil antara dua bilangan atau lebih. KPK antara bilangan a dan b biasa ditulis kpk(a,b) atau lcm(a,b). Contohnya, kpk(15,20)=60 atau lcm(15,20)=60. Cara mencari KPK akan dibahas nanti di artikel ini.

Cara Mencari FPB

Pada umumnya mencari FPB dilakukan dengan dua cara, yaitu

1. Dengan mencari semua faktor-faktor bilangan itu, kemudian carilah mana yang merupakan faktor yang sama dan 

terbesarnya.
2. Dengan menggunakan faktorisasi prima.

Cara 1. 

Dengan mencari semua faktor-faktor bilangan itu, kemudian carilah mana yang merupakan faktor yang sama dan terbesarnya.

Faktor-faktor bilangan didapat dengan mencari semua perkalian dua bilangan yang menghasilkan bilangan tersebut. 

Contohnya, bilangan 30 didapat dari hasil perkalian (1 x 30), (2 x 15), (3 x 10), dan (5 x 6). Jadi, faktor-faktor dari bilangan 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30. Berikut akan diberikan contoh soal beserta pembahasannya dengan menggunakan cara ini.

Soal 1.

Carilah FPB antara 25 dan 40.

Solusi.

Bilangan 25 didapat dari hasil perkalian (1 x 25) dan (5 x 5). Jadi, faktor dari 25 adalah 1, 5, dan 25.

Bilangan 40 didapat dari hasil perkalian (1 x 40), (2 x 20), (4 x 10), dan (5 x 8). Jadi, faktor dari 40 adalah 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, dan 40.

Perhatikan faktor-faktor bilangan 25 dan 40. Didapat bahwa yang merupakan faktor yang sama dan terbesar adalah 5. Jadi, gcd (25,40)=5

Soal 2.

Carilah FPB dari 16, 24, dan 28.


Solusi.

Bilangan 16 didapat dari perkalian (1 x 16), (2 x 8), dan (4 x 4). Jadi, faktor dari 16 adalah 1, 2, 4, 8, dan 16.

Bilangan 24 didapat dari perkalian (1 x 24), (2 x 12), (3 x 8), dan (4 x 6). Jadi, faktor dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, dan 24.

Bilangan 28 didapat dari perkalian (1 x 28), (2 x 14), dan (4 x 7). Jadi, faktor dari 28 adalah 1, 2, 4, 7, 14, dan 28.

Perhatikan faktor dari 16, 24, dan 28. Didapat bahwa yang merupakan faktor yang sama dan terbesar adalah 4. Jadi, gcd (16, 24, 28)=4

Cara 2. 

Dengan menggunakan faktorisasi prima.

Faktorisasi prima adalah perkalian bilangan-bilangan prima yang menghasilkan suatu bilangan. Contohnya, faktorisasi prima dari 50 adalah 2 \times 5^2 atau bisa ditulis 50=2 \times 5^2. Jika sudah mendapatkan faktorisasi prima bilangan-bilangan yang akan dicari FPB nya, maka carilah faktor-faktor prima yang sama, ambil saja salah satunya yang memiliki pangkat terkecil. Kalikan angka-angka yang kita ambil tadi untuk mendapatkan FPB. Untuk lebih jelasnya, berikut akan diberikan contoh soal dan pembahasannya dengan menggunakan cara ini.


Soal 1. Carilah FPB antara 25 dan 40.

Solusi.

25=5^2

40=2^3 \times 5

Perhatikan bahwa faktor prima yang sama adalah 5. Perhatikan pangkatnya. 5 berpangkat 1, sedangkan 5^2 berpangkat 2. Karena 1 < 2, jadi diambil 5. Karena tidak ada lagi faktor-faktor prima yang sama, maka gcd(25,40)=5

Soal 2. 

Carilah FPB dari 18, 24, dan 36.

Solusi.

18=2 \times 3^2

24=2^3 \times 3

36=2^2 \times 3^2

Perhatikan faktor-faktor prima yang sama adalah 2 dan 3. Perhatikan pangkatnya. 2 berpangkat , 2^2 berpangkat 2, dan 2^3 berpangkat 3. Karena 1 < 2 < 3, maka diambil 2. 3 berpangkat 1 dan 3^2 berpangkat 2. Karena 1 < 2, maka diambil 3. Jadi, gcd(18, 24, 36)=2 \times 3=6

Pada umumnya mencari KPK dilakukan dengan dua cara, yaitu : 

 Dengan mencari kelipatan bilangan itu, kemudian carilah mana yang merupakan kelipatan yang sama dan terkecilnya.

Dengan menggunakan faktorisasi prima.

Cara 1. 

Dengan mencari kelipatan bilangan itu, kemudian carilah mana yang merupakan kelipatan yang sama dan terkecilnya.

Mencari kelipatan bukanlah sesuatu yang sulit. Kelipatan didapat dengan mengalikan suatu bilangan dengan 1, 2, 3, 4, 5, dan seterusnya sampai anda menemukan KPK. Contohnya, kelipatan dari 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, dan seterusnya. Berikut akan diberikan contoh soal beserta pembahasannya dengan menggunakan cara ini agar lebih jelas.

Soal 1. 

Carilah KPK antara 15 dan 40.


Solusi.

Kelipatan dari 15 adalah 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, …

Kelipatan dari 40 adalah 40, 80, 120, 160, 200, …

Perhatikan bahwa yang dicetak tebal (bold) merupakan kelipatan yang sama dan terkecil. Jadi, lcm(15,40)=120

Soal 2. 

Carilah KPK antara 5, 10, dan 15.

Solusi.


Kelipatan dari 5 adalah 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, …

Kelipatan dari 10 adalah 10, 20, 30, 40, 50, …

Kelipatan dari 15 adalah 15, 30, 45, 60, 75, 90, …

Perhatikan bahwa yang dicetak tebal (bold) merupakan kelipatan yang sama dan terkecil. Jadi, lcm(5, 10, 15)=30

Cara 2. 

Dengan menggunakan faktorisasi prima.

Faktorisasi prima adalah perkalian bilangan-bilangan prima yang menghasilkan suatu bilangan. Contohnya, faktorisasi prima dari 28 adalah 2^2 \times 7 atau bisa ditulis 28=2^2 \times 7. Jika sudah mendapatkan faktorisasi prima bilangan-bilangan yang akan dicari KPK nya, pertama carilah faktor-faktor prima yang sama. Setelah ditemukan faktor-faktor yang sama, ambil satu saja yang memiliki pangkat terbesar. Kalikan angka-angka yang kita ambil tadi dengan angka yang tidak memiliki pasangan faktor yang sama (jika ada) untuk mendapatkan KPK. Untuk lebih jelasnya, berikut akan diberikan contoh soal dan pembahasannya dengan menggunakan cara ini.

Soal 1. 

Carilah KPK antara 15 dan 40

Solusi.

15=3 \times 5

40=2^3 \times 5

Perhatikan bahwa faktor prima yang sama adalah 5. Perhatikan pangkatnya. Karena berpangkat sama, ambil saja salah satunya. Faktor yang tidak punya pasangan adalah 2^3 dan 3. Jadi, lcm(15,40)=2^3 \times 3 \times 5=120

Soal 2. 

Carilah FPB antara 5, 10, dan 15.


Solusi.
5=5

10=2 \times 5

15=3 \times 5

Perhatikan bahwa faktor prima yang sama adalah 5. Perhatikan pangkatnya. Karena semuanya berpangkat sama, ambil satu saja. Faktor prima yang tidak memiliki pasangan adalah 2 dan 3. Jadi, lcm(5, 10, 15)=2 \times 3 \times 5=30